Глава 40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где , , - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Пусть - какая угодно точка пространства, d - расстояние от нее до данной плоскости. Отклонением точки от данной плоскости называется число +d, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число -d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка имеет координаты , , , а плоскость задана нормальным уравнением

,

то отклонение точки от этой плоскости дается формулой

.

Очевидно, .

Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирущий множитель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

956 Определить, какие из следующих уравнений плоскостей являются нормальными:
956.1  ;
956.2 ;
956.3 ;
956.4 ;
956.5 ;
956.6  ;
956.7 ;
956.8 ;.
956.9  ;
956.10 ;
956.11 ;
956.12 .
957 Привести каждое из следующих уравнений плоскостей к нормальному виду:
957.1 ;
957.2 ;
957.3 ;
957.4  ;
957.5  ;
957.6 ;
957.7 ;
957.8 ;
957.9 ;
957.10 .
958 Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы , , , образуемые нормальню с осями координат, и расстояние р от начала координат:
958.1  ;
958.2  ;
958.3 ;
958.4 ;
958.5 ;
958.6  ;
958.7 ;
958.8 ;
958.9 ;
958.10 .
959 Вычислиь величину отклонения и расстояние d от точки до плоскости в каждом из следующих случаев:М2(2; -1; -1), ;
959.1 М1(-2; -4; 3), ;
959.2 М3(1; 2; -3), ;
959.3 М3(1; 2; -3), ;
959.4 М4(3; -6; 7), ;
959.5 М5(9; 2; -2), .
960 Вычислить расстояние d от точки Р(-1; 1; -2) до плоскости, проходящей через точки М1(1; -1; 1), М2(-2; 1; 3), М3(4; -5; -2).
961 Определить, лежит ли точка Q(2; -1; 1) и начало координат по одну или по разные стороны относительно каждой из следующих плоскостей:
961.1 ;
961.2 ;
961.3 ;
961.4 ;
961.5 ;
961.6 .
962 Доказать, что плоскость пересекает отрезок, ограниченный точками М1(3; -2; 1) и М2(-2; 5; 2).
963 Доказать, что плоскость не пересекает отрезка, ограниченного точками М1(1; 4; -3) и М2(2; 5; 0).
964 В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между параллельными плоскостями:
964.1  , ;
964.2 , ;
964.3 , ;
964.4 , ;
964.5 , ;
964.6 , .
965 Две грани куба лежат на плоскостях , . Вычислить объем этого куба.
966 На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости на расстояние d=4.
967 На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки М(1; -2; 0) и от плоскости .
968 На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух плоскостей , .
969 Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости равно 2.
970 Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости равено –3.
971 Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстояние d=5.
972 В каждом из следующих случаев составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей:
972.1 , ;
972.2 , ;
972.3 , .
973 В каждом из следующих случаев составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями:
973.1  , ;
973.2 , ;
973.3 , .
974 В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка М(2; -1; 3) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:
974.1 , ;
974.2 , ;
974.3 , .
975 В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки М(2; -1; 1) и N(1; 2; -3) в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:
975.1 , ;
975.2 , .
976 Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями , .
977 Определить, лежит ли точка М(3; 2; -1) внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями , .
978 Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями , , в котором лежит начало координат.
979 Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями , , в котором лежит точка М(1; 2; -3).
980 Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями , .
981 Составить уравнение плоскости, которая делит пополам тупой двугранный угол, образованный двумя плоскостями , .

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/