Глава 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекция отрезка на координатные оси. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками

Прямолинейный отрезок называется направленным, если указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая - концом. Направленный отрезок, имеющий точку А своим началом и точку В концом (см. рис.), обозначается символом (то есть так же, как отрезок оси). Длина направленного отрезка (при заданном масштабе) обозначается символом (или АВ).

Проекцией отрезка на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка является проекцией точки А на ось u, а точка - проекцией точки В на эту же ось.

Проекция отрезка на ось u обозначается символом . Если на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, то проекция отрезка на ось Ох обозначается символом Х, его проекция на ось Оу - символом Y.

Если известны координаты точек (, ) и (, ), то проекции X и Y направленного отрезка на координатные оси могут быть вычислены по формулам

, .

Таким образом, чтобы найти проекции направленого отрезка на координатные оси, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.

Угол , на который нужно повернуть положительную полуось Ох так, чтобы ее направление совпало с направлением отрезка , называется полярным углом отрезка .

Угол понимается как в тригонометрии. Соответственно этому имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину ида (где n - целое положительное число). Главным значением полярного угла называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам .

Формулы

,

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы

, , ,

которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на координатные оси.

Если на плоскости даны две точки (, ) и (, ),, то расстояние d между ними определяется формулой

.

44		Вычислить проекцию отрезка на ось u, если даны его длина d и угол j наклона к оси:
	44.1	d=6, j =p /3;
	44.2	d=6, j =2p /3;
	44.3	d=7, j =p /2;
	44.4	d=5, j =0;
	44.5	d=5, j =p ;
	44.6	d=4, j = -p /3.
45		Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная их проекции на координатные оси:
	45.1	X=3, Y=2;
	45.2	X=2, Y=-5;
	45.3	X=-5, Y=0;
	45.4	X=-2, Y=3;
	45.5	X=0, Y=3;
	45.6	X=-5, Y=-1;
46		Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку M(2; -1), зная их проекции на координатные оси:
	46.1	X=4. Y=3;
	46.2	X=2, Y=0;
	46.3	X=-3, Y=1;
	46.4	X=-4, Y=-2;
	46.5	X=0, Y=-3;
	46.6	X=1, Y=-3.
47		Даны точки М1(1; -2), М2(2; 1), М3(5; 0), М4(-1; 4), М5(0; -3). Найти проекции на координатные оси следующих отрезков:
	47.1
	47.2
	47.3
	47.4
48		Даны проекции X=5, Y=-5 отрезка на координатные оси; зная, что его начало в точке М1(-2; 3), найти координаты его конца.
49		Даны проекции X=4, Y=-5 отрезка на координатные оси; зная, что его конец в точке B(1; -3), найти координаты его начала.
50		Построить на чертеже отрезки, исходящие оиз начала координат, зная длину d и полярный угол q каждого из них:
	50.1	d=5, q =p /5;
	50.2	d=3, q =5p /6;
	50.3	d=4, q =-p /3;
	50.4	d=3, q =-4p /3.
51		Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М(2; 3), зная длину и полярный угол каждого из них (координаты точки М декартовы):
	51.1	d=2, q =-p /10;
	51.2	d=1, q =p /9;
	51.3	d=5, q =-p /2ж
52		Вычислить проекции на координатные оси отрезков, зная длину d и полярный угол q каждого из них:
	52.1	d=12, q =2p /3;
	52.2	d=6, q =-p /6;
	52.3	d=2, q =-p /4.
53		Даны проекции отрезков на координатные оси. Вычислить длину каждого из них.
	53.1	X=3, Y=-4;
	53.2	X=12, Y=5;
	53.3	X=-8, Y=6.
54		Даны проекции отрезков на координатные оси. Вычислить длину d и полярный угол q каждого из них.
	54.1	X=1, Y=;
	54.2	X=, Y=;
	54.3	X=, Y=2.
55		Даны точки М1(2; -3), M2(1; -4), M3(-1; -7), M4(-4; 8). Вычислить длину и полярный угол слдующих отрезков:
	55.1
	55.2
	55.3
	55.4
56		Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на ось ординат при условии, что он образует с осью ординат:
	56.1	Острый угол;
	56.2	Тупой угол.
57		Длина отрезка равна 13; его начало в точке М(3; -2), проекция на ось абсцисс равна –12. Найти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат:
	57.1	Острый угол;
	57.2	Тупой угол.
58		Длина отрезка равна 17, его конец в точке N(-7; 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти координаты начала этого отрезка при условии, что он образует с осью абсцисс:
	58.1	Острый угол;
	58.2	Тупой угол.
59		Зная проекции X=1, Y= отрезка на координатные оси, найти его проекцию на ось, которая составляет с осью Ox угол q =2p /3.
60		Даны две точки M1(1; -5), M2(4; -1). Найти проекцию отрезка на ось, которая составляет с осью Ox угол q =-p /6.
61		Даны две точки P(-5; 2), Q(3; 1). Найти проекцию отрезка на ось, которая составляет с осью Ox угол
62		Даны две точки M1(2; -2), M2(7; -3). Найти проекцию отрезка на ось, проходящую через точки A(5; -4), B(-7; 1) и направленную:
	62.1	от А к В;
	62.2	от В к А.
63		Даны точки A(0; 0), B(3; -4), C(-3; 4), D(-2; 2), E(10; -3). Определить расстояние d между точками:
	63.1	А и В.
	63.2	В и С.
	63.3	А и С.
	63.4	C и D.
	63.5	A и D.
	63.6	D и E.
64		Даны две смежные вершины квадрата A(3; -7) и В(-1; 4). Вычислить его площадь.
65		Даны две противоположные вершины квадрата P(3; 5), Q(1; -3). Вычислить его площадь.
66		Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть A(-3; 2), B(1; 6).
67		Даны три вершины А(3; -7), В(5; -7), С(-2; 5) параллелограмма ABCD, четвертая вершина которого D противоположна B. Определить длины диагоналей того параллелограмма.
68		Сторона ромба равна , две его противоположные вершины суть точки P(4; 9), Q(-2; 1). Вычислить площадь этого ромба.
69		Сторона ромба равна , две его противоположные вершины суть точки P(3; -4), Q(1; 2). Вычислить длину высоты этого ромба.
70		Доказать, что точки А(3; -5), В(-2; -7), С(18; 1) лежат на одной прямой.
71		Доказать, что треугольник с вершинами A1(1; 1), A2(2; 3), A3(5; -1) прямоугольный.
72		Доказать, что точки А(2; 2), В(-1; 6), С(-5; 3), D(-2; -1) являются вершинами квадрата.
73		Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами M1(1; 1), M2(0; 2), M3(2; -1) тупой угол.
74		Доказать, что все внутренние углы треугольника с вершинами M(-1; 3), N(1; 2), P(0, 4) острые.
75		Вершины треугольника суть точки A(5; 0), B(0; 1), C(3; 3). Вычислить его внутренние углы.
76		Вершины треугольника суть точки А(; 1), B(0, 2), C(; 2). Вычислить его внешний угол при вершине А.
77		На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние от которой до точки N(2; -3) равнялось бы 5.
78		На оси ординат найти такую точку М, расстояние от которой до точки N(-8; 13 равнялось бы 17.
79		Даны две точки M(2; 2), N(5; -2); на оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол MPN был прямым.
80		Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей. Определить ее центр С и радиус R.
81		Через точку М1(1; -2) проведена окружность радиуса 5, касающаяся оси Ox. Определить центр С окружности.
82		Определить координаты точки М2, симметричной точке М1(1; 2) относительно прямой, проходящей через точки А(1; 0), В(-1; -2).
83		Даны две противоположные вершины квадрата А(3; 0) и С(-4; 1). Найти две его другие вершины.
84		Даны две смежные веришны квадрата А(2; -1) и В(-1; 3). Определить две его другие вершины.
85		Даны вершины треугольника M1(-3; 6), M2(9; -10), M3(-5; 4). Определить центр С и радиус R круга, описанного около этого треугольника.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/