Глава 5. Деление отрезка в заданном отношении

Глава 5. Деление отрезка в данном отношении

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки (, ) и (, ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

, .

86 Даны концы А(3; -5), В(-1; 1) однородного стержня. Определить координаты его центра масс.

87 Центр мас однородного стержня находится в точке М(1; 4), один из его концов Р(-2; 2). Определить координаты точки Q – другого конца этого стержня.

88 Даны вершины треугольника А(1; -3), В(3; -5), С(-5; 7). Определить середины его сторон.

89 Даны точки А(3; -1), С(2; 1). Определить:

89.1 Координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В;

89.2 Координаты точки N, симметричной точке В относительно точки А.

90 Точки А(2; -1), N (-1; 4), P(-2; 2) являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины.

91 Даны три вершины параллелограмма А(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3). Определить четвертую вершину D, противоположную B.

92 Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3; 5), B(1; 7) и точка пересечения его диагоналей M(1; 1). Определить две другие вершины.

93 Даны три вершины А(2; 3), B(4; -1), C(0; 5) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D.

94 Даны вершины треугольника A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины B.

95 Отрезок, ограниченный точками A(1; -3), B(4; 3) разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

96 Даны вершины треугольника A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7). Найти точку пересечения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В со стороной АС.

97 Даны вершины треугольника A(3; -5), B(-3; 3), C(-1; -2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

98 Даны вершины треугольника А(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1). Найти точку пересечения биссектрисы его внешнего угла при вершине А с продолжением стороны ВС.

99 Даны вершины треугольника А(3; -5), B(1; -3), C(2; -2). Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине В.

100 Даны точки А(1; 1), В(3; 3), С(4; 7). Определить отношение , в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

101 Определить координаты концов А и В отрезка, который точками P(2; 2), Q(1; 5) разделен на три равные части.

102 Прямая проходит через точки M₁(-12; -13), M₂(-2; -5). На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3.

103 Прямая проходит через точки M(2; -3), N(-6, 5). На этой прямой найти точку, ордината которой равна –5.

104 Прямая проходит через точки A(7; -3), B(23; -6). Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.

105 Прямая проходит через точки A(5; 2), B(-4; -7). Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.

106 Даны вершины четырехугольника А(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4), D(5; 8). Определить, в каком отношении его диагональ AC делит диагональ BD.

107 Даны вершины четырехугольника A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2), D(6; 10). Определить точку пересечения его диагоналей AC и BD.

108 Даны вершины однородной треугольной пластинки A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃). Определить координаты ее центра масс. Центр масс находится в точке пересечения медиан.

109 Точка M пересечения медиан треугольника лежт на оси абсцисс, две вершины его – точки А(2; -3) и B(-5; 1), третья вершина C лежит на оси ординат. Определить координаты точек M и C.

110 Даны вершины однородной треугольной пластинки A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃). Если соединить середины ее сторон, то образуется новая однородная треугольная пластинка. Доказать, что центры масс обеих пластинок совпадают.

111 Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вырез, прямые разрезы проходят через центр квадрата, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис.). Определить центр масс этой пластинки.

112 Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными a и b, в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят через центр, оси координат направлены по ребрам пластинки (Рис). Определить центр масс этой пластинки.

113 Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2a, от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединяет середины двух смежных сторон, оси координат направлены по ребрам пластинки (Рис). Определить центр масс пластинки.

114 В точках A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃) сосредоточены массы m, n, p. Определить координаты центра тяжести этой системы.

115 Точки A(4; 2), B(7; -2), C(1; 6) являются вершинами треугольника, сделанного из однородной проволоки. Определить центр масс этого треугольника.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

86		Даны концы А(3; -5), В(-1; 1) однородного стержня. Определить координаты его центра масс.
87		Центр мас однородного стержня находится в точке М(1; 4), один из его концов Р(-2; 2). Определить координаты точки Q – другого конца этого стержня.
88		Даны вершины треугольника А(1; -3), В(3; -5), С(-5; 7). Определить середины его сторон.
89		Даны точки А(3; -1), С(2; 1). Определить:
	89.1	Координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В;
	89.2	Координаты точки N, симметричной точке В относительно точки А.
90		Точки А(2; -1), N (-1; 4), P(-2; 2) являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины.
91		Даны три вершины параллелограмма А(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3). Определить четвертую вершину D, противоположную B.
92		Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3; 5), B(1; 7) и точка пересечения его диагоналей M(1; 1). Определить две другие вершины.
93		Даны три вершины А(2; 3), B(4; -1), C(0; 5) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D.
94		Даны вершины треугольника A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины B.
95		Отрезок, ограниченный точками A(1; -3), B(4; 3) разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
96		Даны вершины треугольника A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7). Найти точку пересечения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В со стороной АС.
97		Даны вершины треугольника A(3; -5), B(-3; 3), C(-1; -2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
98		Даны вершины треугольника А(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1). Найти точку пересечения биссектрисы его внешнего угла при вершине А с продолжением стороны ВС.
99		Даны вершины треугольника А(3; -5), B(1; -3), C(2; -2). Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине В.
100		Даны точки А(1; 1), В(3; 3), С(4; 7). Определить отношение , в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
101		Определить координаты концов А и В отрезка, который точками P(2; 2), Q(1; 5) разделен на три равные части.
102		Прямая проходит через точки M₁(-12; -13), M₂(-2; -5). На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3.
103		Прямая проходит через точки M(2; -3), N(-6, 5). На этой прямой найти точку, ордината которой равна –5.
104		Прямая проходит через точки A(7; -3), B(23; -6). Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.
105		Прямая проходит через точки A(5; 2), B(-4; -7). Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.
106		Даны вершины четырехугольника А(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4), D(5; 8). Определить, в каком отношении его диагональ AC делит диагональ BD.
107		Даны вершины четырехугольника A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2), D(6; 10). Определить точку пересечения его диагоналей AC и BD.
108		Даны вершины однородной треугольной пластинки A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃). Определить координаты ее центра масс. Центр масс находится в точке пересечения медиан.
109		Точка M пересечения медиан треугольника лежт на оси абсцисс, две вершины его – точки А(2; -3) и B(-5; 1), третья вершина C лежит на оси ординат. Определить координаты точек M и C.
110		Даны вершины однородной треугольной пластинки A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃). Если соединить середины ее сторон, то образуется новая однородная треугольная пластинка. Доказать, что центры масс обеих пластинок совпадают.
111		Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вырез, прямые разрезы проходят через центр квадрата, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис.). Определить центр масс этой пластинки.
112		Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными a и b, в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят через центр, оси координат направлены по ребрам пластинки (Рис). Определить центр масс этой пластинки.
113		Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2a, от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединяет середины двух смежных сторон, оси координат направлены по ребрам пластинки (Рис). Определить центр масс пластинки.
114		В точках A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃) сосредоточены массы m, n, p. Определить координаты центра тяжести этой системы.
115		Точки A(4; 2), B(7; -2), C(1; 6) являются вершинами треугольника, сделанного из однородной проволоки. Определить центр масс этого треугольника.