Глава 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения

Равенство вида F(x; y)=0 называется уравнением с двумя переменными x, y, если оно справедливо не для всяких пар чисел x, y. Говорят, что два числа , удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных x и y в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(x; y)=0» мы часто будем говорить короче: «дана линия F(x; y)=0».

Если даны уравнения двух линий F(x,y)=0 и Ф(x, y)=0, то совместное решение системы F(x,y)=0, Ф(x, y)=0 дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.

157		Даны точки М1(2; -2), М2(2; 2), М3(2; -1), М4(3; -3), М5(5; -5), М6(3; -2). Установить, какие из данных точек лежат на линии, определенной уравнением , и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже).
158		На линии, определенной уравнением , найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: 1). 0; 2). –3; 3). 5; 4). 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: 5). 3; 6). –5; 7). –8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже).
159		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями (построить их на чертеже):
	159.1	;
	159.2	;
	159.3	;
	159.4	;
	159.5	;
	159.6	;
	159.7	;
	159.8	;
	159.9	;
	159.10	;
	159.11	;
	159.12	;
	159.13	;
	159.14	;
	159.15	;
	159.16	;
	159.17	;
	159.18	;
	159.19	;
	159.20	;
	159.21	;
	159.22	;
	159.23	;
	159.24	;
	159.25	;
	159.26	;
	159.27	;
	159.28	;
	159.29	;
	159.30	;
	159.31	.
160		Даны линии. Определить, какие из них проходят через начало координат.
	160.1	;
	160.2	;
	160.3	;
	160.4	;
	160.5	.
161		Даны линии. Найти точки их пересечения: а). С осью Ох; б). С осью Оу.
	161.1	;
	161.2	;
	161.3	;
	161.4	;
	161.5	;
	161.6	;
	161.7	.
162		Найти точки пересечения двух линий:
	162.1	, ;
	162.2	, ;
	162.3	, ;
	162.4	, .
163		В полярной системе координат даны точки М1(1; /3), М2(2; 0), М3(2, /4), М4(;/6) и М5(1; 2/3). Установить, какие из этих точек лежат на линии, оперделенной в полярных координатаха уравнением , и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже).
164		На линии, определенной уравнением , найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а). , б). ; в). 0; г). . Какая линия определена данным уравнением: (Построить ее на чертеже).
165		На линии, определенной уравнением , найти точки, полярные радиусы которых равны следующим числам: а). 1; б). 2; в). . Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже).
166		Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):
	166.1	;
	166.2	;
	166.3	;
	166.4	;
	166.5	;
	166.6	;
	166.7	;
	166.8	;
	166.9	.
167		Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:
	167.1	;
	167.2	;
	167.3	;
	167.4	.
168		Построить на чертеже следующие гиперболические спирали:
	168.1	;
	168.2	;
	168.3	;
	168.4	.
169		Построить на чертеже следующие логарифмические спирали:
	169.1	;
	169.2	.
170		Определить длины отрезков, на которые рассекает спираль Архимеда луч, выходящий из полюса и наклоненный к полярной оси под углом . Сделать чертеж.
171		На спирали Архимеда взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С. Сделать чертеж.
172		На гиперболической спирали найти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертеж.
173		На логарифмической спирали найти точку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертеж.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/