Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

(1)

называется общим уравнением прямой.

Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение является уравнением прямой, которая проходит через точку (, ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки (, ), (, ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки (, ) и (, ).

Если известны угловые коэффициенты и двух прямых, то один из углов между этими прямыми определяется по формуле

.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

, или .

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

210

 Определить, какие из точек M1(3; 1), M2(2; 3), M3(6; 3), M4(-3; -3), M5(3; -1), M6(-2; 1) лежат на прямой и какие на ней не лежат.
211 Точки P1, P2, P3, P4, P5 расположены на прямой ; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.
212 Точки Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 расположены на прямой ; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.
213 Определить точки пересечения прямой с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.
214 Найти точку пересечения двух прямых , .
215 Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями , , . Определить координаты его вершин.
216 Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и уравнение одной из его диагоналей . Определить координаты вершин этого параллелограмма.
217 Стороны треугольника лежат на прямых , , . Вычислить его площадь S.
218 Площадь треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2), В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой . Определить координаты вершины С.
219 Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2; -3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой . Определить координаты третьей вершины С.
220 Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy:
220.1 k=2/3, b=3;
220.2 k=3, b=0;
220.3 k=0, b=-2;
220.4 k=-3/4, b=3;
220.5 k=-2, b=-5;
220.6 k=-1/3, b=2/3.
221 Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых:
221.1 ;
221.2 ;
221.3 ;
221.4 ;
221.5 .
222 Дана прямая . Определить угловой коэффициент k прямой:
222.1 Параллельной данной прямой;
222.2 Перпендикулярно к данной прямой.
223 Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2; 1):
223.1 Параллельно данной прямой;
223.2 Перпендикулярно данной прямой.
224 Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.
225 Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.
226 Найти проекцию точке Р(-5; 13) относительно прямой .
227 Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой .
228 В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:
228.1 , ;
228.2 , ;
228.3 , ;
228.4 , ;
228.5 , .
229 Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:
229.1 M1(2; -5), M2(3; 2);
229.2 P(-3, 1), Q(7; 8);
229.3 A(5; -3), B(-1; 6).
230 Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.
231 Даны середины сторон треугольника M1(2; 1), M2(5; 3), M3(3; -4). Составить уравнение его сторон.
232 Даны две точки P(2; 3), Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку .
233 Составить уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
234 Даны вершины треугольника M1(2; 1), M2(-1; -1), M3(3; 2). Составить уравнения его высот.
235 Стороны треугольника даны уравнениями , , . Определить точку пересечения его высот.
236 Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.
237 Даны вершины треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.
238 Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).
239 Через точки M1(-1; 2), M2(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
240

Доказать, что условие, при котором три точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) лежат на одной прямой, может быть записано в следующем виде:
241

Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), может быть записано в следующем виде:
242 Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6). Определить точку пересечения его диагоналей.
243 Даны две смежные вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.
244 Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение его диагонали . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.
245 Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.
246 Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).
247 Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; -3), B(-5; 1).
248 Найти точку M1, симметричную точке М2(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2).
249 На оси абсцисс найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей.
250 На оси ординат найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей.
251 На прямой найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы наименьшей.
252 На прямой найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы наибольшей.
253 Определить угол между двумя прямыми:
253.1 , ;
253.2 , ;
253.3 , ;
253.4 , .
254 Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(2; 1) под углом 450 к данной прямой.
255 Точка А(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
256 Даны две противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2). Составить уравнения его сторон.
257 Точка E(1; -1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
258 Из точки M0(-2; 3) под углом к оси Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя до оси Ox, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи.
259 Луч света направлен по прямой , луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
260 Даны уравнения сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.
261 Доказатть, что уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1; y1) параллельно прямой , может быть записано в виде .
262 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М1(2: -3) параллельно прямой:
262.1 ;
262.2 ;
262.3 ;
262.4 ;
262.5 .
263 Доказать, что условие перпендикулярности прямых ; может быть записано в следующем виде: .
264 Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.
264.1  , ;
264.2 , ;
264.3 , ;
264.4 , ;
264.5 , ;
264.6 , .
265

Доказать, что формула для определения угла между прямыми , может быть записана в следующей форме:
266 Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.
266.1 , ;
266.2  , ;
266.3  , .
267 Даны две вершины треугольника M1(-10; 2), M2(6; 4); его высоты пересекаются в точке N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M3.
268 Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.
269 В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: , уравнения высот АМ: и BN: . Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.
270 Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан , .
271 Составить уравнения сторон треугольника, сли даны одна из его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот , .
272 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис , .
273 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2; 6), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из одной вершины.
274 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из различных вершин.
275 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; -1), а также уравнения высоты и медианы , проведенной из одной вершины.
276 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -7), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из различных вершин.
277 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из одной вершины.
278 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из различных вершин.
279 Составить уравнение прямой, которая проходит черезначало координат и вместе с прямыми , образует треугольник с площадью, равной 1,5.
280 Среди прямых, проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми , , делится в точке Р пополам.
281 Через точку Р(-3; -1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключенный между прямыми , , делится в точке Р пополам.
282 Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми , , делился бы в точке Р пополам.
283 Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми , , равна .
284 Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4), зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми , , равна 5.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/