Глава 19. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называеых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами и , расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы , или .

Пусть дана гипербола. Если оси декатовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид

(1)

где . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат - ее центром симметрии (рис.). Оси симметрии гиперболы называются просто ее осями, центр симметрии - центром гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей; точки пересечения называются вершинами гиперболы. На рис. Вершины гиперболы суть точки А’ и А.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы.

Отрезки длиной 2a и 2b, соединяющие середины сторон основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженного) являются асимптотами гиперболы, их уравнения суть

,

Уравнение

(2)

определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей, с фокусами на оси ординат; уравнение (2), как и уравнение (1), называется каноническим уравнением гиперболы; в этом случае постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2b.

Две гиперболы, которые определяются уравнениями

,

в одной и той же системе координат, называются сопряженными.

Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней; ее каноническое уравнение имеет вид

или

Число

где а - расстояние от центра гиперболы до ее вершины, называется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы . Если М(x; y) - произвольная точка гиперболы, то отрезки и (см. рис.) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по формулам

, ,

фокальные радиусы точек левой ветви - по формулам

, .

Если гипербола задана уравнением (1), то прямые, определяемые уравнениями

, ,

называются ее директрисами (см. рис.). Если гипербола задана уравнением (2), то директрисы определяются уравнениями

, .

Каждая директриса обладает следующим свойством: если r - расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d - расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентрисистету гиперболы:

.

515		Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
	515.1	ее оси 2a=10 и 2b=8;
	515.2	расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8;
	515.3	расстояние между фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/2;
	515.4	ось 2a=16 и эксцентриситет e=5/4;
	515.5	уравнения асимптот и расстояние между фокусами 2c=20;
	515.6	расстояние между директрисами равно 228/13 и расстояние между фокусами 2c=26;
	515.7	расстояние между директрисами равно 32/5 и ось 2b=6;
	515.8	расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет e=3/2;
	515.9	уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно 64/5;
516		Составить уравнение гиперболы, фокусы которого расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
	516.1	ее полуоси a=6, b=18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенной на оси абсцисс);
	516.2	расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет e=5/3;
	516.3	уравнения асимптот и расстояние между вершинами равно 48;
	516.4	расстояние между директрисами равно 50/7 и эксценриситет e=7/5;
	516.5	уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно 32/5.
517		Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:
	517.1	;
	517.2	;
	517.3	;
	517.4	;
	517.5	;
	517.6	;
	517.7	.
518		Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
519		Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
520		Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой .
521		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
	521.1	;
	521.2	;
	521.3	;
	521.4	.
522		Дана точка M1(10; ) на гиперболе . Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М1.
523		Убедившись, что точка М1(-5; 9/4) лежит на гиперболе , определить фокальные радиусы точки М1.
524		Эксцентриситет гиперболы e=2, фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
525		Эксцентриситет гиперболы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
526		Эксцентриситет гиперболы e=2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.
527		Эксцентриситет гиперболы e=3/2, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением x=-8. Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.
528		Определить точки гиперболы , расстояние от которых до правого фокуса равно 4,5.
529		Определить точки гиперболы , расстояние которых до левого фокуса равно 7.
530		Через левый фокус гиперболы проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояние от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
531		Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы (считая, что оси координат изображены и масштабная единица задана).
532		Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
	532.1	точки M1(6; -1), M2(-8; ) гиперболы;
	532.2	точка М1(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет e=;
	532.3	точка М1(9/2; -1) гиперболы с уравнения асимптот ;
	532.4	точка М1(-3; 5/2) гиперболы и уравнения директрис ;
	532.5	уравнения асимптот и уравнения директрис .
533		Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
534		Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом 600.
535		Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет e=2.
536		Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.
537		Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы до ее асимптоты равно b.
538		Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная .
539		Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы и прямыми, проведенными через любую ее точку параллельно асимптотами, есть величина постоянная, равная ab/2.
540		Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси a и b, центр C(x0; y0) и фокусы расположены на прямой:
	540.1	параллельной оси Ox;
	540.2	параллельной оси Oy.
541		Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:
	541.1	;
	541.2	;
	541.3	.
542		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
	542.1	;
	542.2	;
	542.3	;
	542.4	.
543		Составить уравнение гиперболы, зная, что:
	543.1	расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть F1(-10; 2), F2(16; 2);
	543.2	фокусы суть F1(3; 4), F2(-3; -4) и расстояние между директрисами равно 3,6;
	543.3	угол между асимптотами равен 900 и фокусы суть F1(4; -4), F2(-2; 2).
544		Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=5/4, фокус F(5; 0) и уравнение соответствующей директрисы .
545		Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=13/12, фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей директирсы .
546		Точка А(-3; -5) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; -3), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы.
547		Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=, фокус F(2; -3) и уравнение соответствующей директрисы .
548		Точка М1(1; -2) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; 2), а соответстующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы.
549		Дано уравнение равносторонней гиперболы . Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты.
550		Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже:
	550.1	;
	550.2	;
	550.3	.
551		Найти точку пересечения прямой и гиперболы .
552		Найти точки пересечения прямой и гиперболы .
553		Найти точки пересечения прямой и гиперболы .
554		В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы: пересекает ли, касается или проходит вне ее:
	554.1	, ;
	554.2	, ;
	554.3	, .
555		Определить, при каких значениях m прямая :
	555.1	пересекает гиперболу :
	555.2	касается ее;
	555.3	проходит вне этой гиперболы.
556		Вывести условие, при котором прямая касается гиперболы .
557		Составить уравнение касательной к гиперболе в ее точке M1(x1; y1).
558		Доказать, что касательные к гипербле, проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны.
559		Составить уравнения касательных к гиперболе , перпендикулярных к прямой .
560		Составить уравнения касательных к гиперболе , параллельных прямой .
561		Провести касательные к гиперболе параллельно прямой и вычислить расстояние d между ними.
562		На гиперболе найти точку М1, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М1 до этой прямой.
563		Составить уравнение касательной к гиперболе , проведенных из точки А(-1; -7).
564		Из точки С(1; -10) проведены касательные к гиперболе . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
565		Из точки Р(1; -5) проведены касательные к гиперболе . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания.
566		Гипербола проходит через точку А(; 3) и касается прямой . Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
567		Составить уравнение гиперболы, касающейся прямых , , при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
568		Убедившись, что точки пересечения эллипса и гиперболы являются вершинами прямоугольника, составить уравнения его сторон.
569		Даны гиперболы и какая-нибудь ее касательная, Р – точка пересечения касательной с осью Ох, Q – проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что .
570		Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной.
571		Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе есть величина постоянная, равная b2.
572		Прямая касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F1(-3; 0), F2(3; 0). Составить уравнение этой гиперболы.
573		Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе и расстояние между ее вершинами 2а=8.
574		Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит внутри угла F1MF2.
575		Из правого фокусы гиперболы под углом (<<) к оси Ох направлен луч света. Известно, что . Дойдя до гиперболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
576		Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
577		Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3. Определить уравнение линии, в котороую при этом сжатии преобразуется гипербола .
578		Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола .
579		Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипербола при двух последовательных равноменых сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ох и Оу соответствуют 2/3 и 5/3.
580		Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором гипербола преобразуется в гиперболу .
581		Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола преобразуется в гиперболу .
582		Определить коэффициенты q1, q2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых гипербола преобразуется в гиперболу .