Глава 20. Парабола

Глава 20. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы - буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

.

Фокальный радиус произвольной точки М(x; y) параболы (то есть длина отрезка F(M) может быть вычислен по формуле

.

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат - с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

(2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

(3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

(4)

если в нижней полуплоскости (рис.)

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

583 Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

583.1 парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3;

583.2 парабола расположена в левой полуплоскости симетрично относительно оси Ох и ее параметр р=0,5.

583.3 парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р=1/4.

583.4 парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично оси Оу и ее параметр р=3.

584 Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:

584.1 ;

584.2 ;

584.3 ;

584.4 .

585 Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

585.1 парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6);

585.2 парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В(-1; 3);

585.3 парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1);

585.4 парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку D(4; -8).

586 Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 см. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы.

587 Составить уравнение параболы, которая имеет фокус Е(0; -3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу.

588 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.

588.1 ;

588.2 ;

588.3 ;

588.4 ;

588.5 ;

588.6 ;

588.7 ;

588.8 .

589 Найти фокус F и уравнение директрисы параболы .

590 Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если абсцисса точки М равна 7.

591 Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если ордината точки М равна 6.

592 На параболе найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

593 Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и уравнение директрисы .

594 Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой (; ), параметр равен p, ось параллельна оси Ох и парабола простирается в бесконечность:

594.1 в положительном направлении оси Ох;

594.2 в отрицательном направлении оси Ох.

595 Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой (; ), параметр равен p, ось параллельна оси Оу и парабола простирается в бесконечность:

595.1 в положительном направлении оси Оу (т.е. парабола является восходящей);

595.2 в отрицательном направлении оси Оу (т.е. парабола являетя нисходящей).

596 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы:

596.1 ;

596.2 ;

596.3 ;

596.4 .

597 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р:

597.1 ;

597.2 ;

597.3 .

598 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А и величину параметра р:

598.1 ;

598.2 ;

598.3 .

599 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

599.1 ;

599.2 ;

599.3 ;

599.4 .

600 Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса .

601 Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса .

602 Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; -1) и директриса .

603 Даны вершина параболы А(6; -3) и уравнение ее директрисы . Найти фокус F этой параболы.

604 Даны вершина параболы А(-2; -1) и уравнение е директрисы . Составить уравнение этой параболы.

605 Определить точки пересечения прямой и параболы .

606 Определить точки пересечения прямой и параболы .

607 Определить точки пересечения прямой и параболы .

608 В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы – пересекает ли, касается или проходит вне ее:

608.1 , ;

608.2 , ;

608.3 , .

609 Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :

609.1 пересекает параболу ;

609.2 касается ее;

609.3 проходит вне этой параболы.

610 Вывести условие, при котором прямая касается параболы .

611 Доказать, что к параболе можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом .

612 Составить уравнение касательной к параболе в ее точке М₁(x₁; y₁).

613 Составить уравнение прямой, которая касается параболы и параллельна прямой .

614 Составить уравнение прямой, которая касается параболы и перпендикулярна к прямой .

615 Провести касательную к параболе параллельно прямой и вычислить расстояние d между этой касательной и данной прямой.

616 На параболе найти точку М₁, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой.

617 Составить уравнения касательных к параболе , проведенных из точки А(2; 9).

618 К параболе проведена касательная. Доказать, что вершина этой параболы лежит посередине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания на ось Ох.

619 Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

620 Из точки Р(-3; 12) проведены касательные к параболе . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды параболы, соединяющей точки касания.

621 Определить точки пересечения эллипса и параболы .

622 Определить точки пересечения гиперболы и параболы .

623 Определить точки пересечения парабол , .

624 Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.

625 Из фокуса параболы под острым углом к оси Ох направлен луч света. Известно, что . Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

626 Доказать, что две параболы, имеющую общую ось и общий фокус, расположенный между ее вершинами, пересекаются под прямым углом.

627 Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

583		Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
	583.1	парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3;
	583.2	парабола расположена в левой полуплоскости симетрично относительно оси Ох и ее параметр р=0,5.
	583.3	парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р=1/4.
	583.4	парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично оси Оу и ее параметр р=3.
584		Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:
	584.1	;
	584.2	;
	584.3	;
	584.4	.
585		Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
	585.1	парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6);
	585.2	парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В(-1; 3);
	585.3	парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1);
	585.4	парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку D(4; -8).
586		Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 см. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы.
587		Составить уравнение параболы, которая имеет фокус Е(0; -3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу.
588		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
	588.1	;
	588.2	;
	588.3	;
	588.4	;
	588.5	;
	588.6	;
	588.7	;
	588.8	.
589		Найти фокус F и уравнение директрисы параболы .
590		Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если абсцисса точки М равна 7.
591		Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если ордината точки М равна 6.
592		На параболе найти точки, фокальный радиус которых равен 13.
593		Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и уравнение директрисы .
594		Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой (; ), параметр равен p, ось параллельна оси Ох и парабола простирается в бесконечность:
	594.1	в положительном направлении оси Ох;
	594.2	в отрицательном направлении оси Ох.
595		Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой (; ), параметр равен p, ось параллельна оси Оу и парабола простирается в бесконечность:
	595.1	в положительном направлении оси Оу (т.е. парабола является восходящей);
	595.2	в отрицательном направлении оси Оу (т.е. парабола являетя нисходящей).
596		Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы:
	596.1	;
	596.2	;
	596.3	;
	596.4	.
597		Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р:
	597.1	;
	597.2	;
	597.3	.
598		Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А и величину параметра р:
	598.1	;
	598.2	;
	598.3	.
599		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
	599.1	;
	599.2	;
	599.3	;
	599.4	.
600		Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса .
601		Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса .
602		Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; -1) и директриса .
603		Даны вершина параболы А(6; -3) и уравнение ее директрисы . Найти фокус F этой параболы.
604		Даны вершина параболы А(-2; -1) и уравнение е директрисы . Составить уравнение этой параболы.
605		Определить точки пересечения прямой и параболы .
606		Определить точки пересечения прямой и параболы .
607		Определить точки пересечения прямой и параболы .
608		В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы – пересекает ли, касается или проходит вне ее:
	608.1	, ;
	608.2	, ;
	608.3	, .
609		Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :
	609.1	пересекает параболу ;
	609.2	касается ее;
	609.3	проходит вне этой параболы.
610		Вывести условие, при котором прямая касается параболы .
611		Доказать, что к параболе можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом .
612		Составить уравнение касательной к параболе в ее точке М₁(x₁; y₁).
613		Составить уравнение прямой, которая касается параболы и параллельна прямой .
614		Составить уравнение прямой, которая касается параболы и перпендикулярна к прямой .
615		Провести касательную к параболе параллельно прямой и вычислить расстояние d между этой касательной и данной прямой.
616		На параболе найти точку М₁, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой.
617		Составить уравнения касательных к параболе , проведенных из точки А(2; 9).
618		К параболе проведена касательная. Доказать, что вершина этой параболы лежит посередине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания на ось Ох.
619		Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
620		Из точки Р(-3; 12) проведены касательные к параболе . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды параболы, соединяющей точки касания.
621		Определить точки пересечения эллипса и параболы .
622		Определить точки пересечения гиперболы и параболы .
623		Определить точки пересечения парабол , .
624		Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.
625		Из фокуса параболы под острым углом к оси Ох направлен луч света. Известно, что . Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
626		Доказать, что две параболы, имеющую общую ось и общий фокус, расположенный между ее вершинами, пересекаются под прямым углом.
627		Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.