Глава 22. Диаметры линий второго порядка

Глава 22. Диаметры линий второго порядка

В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, который ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением

(1)

то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k, определяется уравнением

.

Если гипербола задана уравнением

, (2)

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k, определяется уравнением

.

Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением

,

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k, определяется уравнением

.

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.

Если k и k’ - угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса (1), то

(3)

Если k и k’ - угловые коэффициенты дух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то

(4).

Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.

Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным.

643 Составить уравнение диаметра эллипса , проходящего через середину его хорды, отсекаемой на прямой .

644 Составить уравнение хорды эллипса , проходящей через точку А(1; -2) и делящейся ею пополам.

645 Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса , из которых один образует с осью Ох угол 45⁰.

646 Составить уравнения двух взаимно двух взаимно сопряженных диаметров эллипса , из которых один параллелен прямой .

647 Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса , из которых один перпендикулярен к прямой .

648 На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его центр.

649 Доказать, что оси эллипса являются единственной парой его главных диаметров.

650 Пользуясь свойствами сопряженных диаметров, доказать, что каждый диаметр окружности является главным.

651 а). В эллипс вписан равнобедренный треугольник так, что его вершина совпадает с одной из вершин эллипса. Доказать, что основание этого треугольника параллельно одной из осей эллипса; б). Доказать, что стороны прямоугольника вписанного в эллипс,параллельны осям этого эллипса; в). На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его главные диаметры.

652 Доказать, что хорды эллипса, соединяющие его произвольную произвольную точку с концами любого диаметра этого эллипса, праллельны паре его сопряженных диаметров.

653 а). Доказать, что сумма квадратов двух сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная (равная сумме квадратов его полуосей), б). Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на двух сопряженных полудиаметрах эллипса, есть величина постоянная (равная площади прямоугольника, построенного на его полуосях).

654 Составить уравнение диаметра гиперболы , походящего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой .

655 Дана гипербола . Составить уравнение ее хорды, которая проходит через точку А(3; -1) и делится точкой А пополам.

656 Составить уравнениядвух сопряженных диаметров гиперболы , из которых один проходит через точку А(8; 1).

657 Составить уравнения сопряженных диаметров гиперболы , угол между которыми равен 45⁰.

658 На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее центр.

659 Доказать, что оси гиперболы являются единственной парой ее главных диаметров.

660 На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее главные диаметры.

661 Составить уравнение диаметра параболы , проходящего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой .

662 Дана парабола . Составить уравнение ее хорды, которая проходит через точку А(2; 5) и делится точкой А пополам.

663 Доказать, что ось параболы является единственной ее главным диаметром.

664 На чертеже изображена парабола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее главный диаметр.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

643		Составить уравнение диаметра эллипса , проходящего через середину его хорды, отсекаемой на прямой .
644		Составить уравнение хорды эллипса , проходящей через точку А(1; -2) и делящейся ею пополам.
645		Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса , из которых один образует с осью Ох угол 45⁰.
646		Составить уравнения двух взаимно двух взаимно сопряженных диаметров эллипса , из которых один параллелен прямой .
647		Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса , из которых один перпендикулярен к прямой .
648		На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его центр.
649		Доказать, что оси эллипса являются единственной парой его главных диаметров.
650		Пользуясь свойствами сопряженных диаметров, доказать, что каждый диаметр окружности является главным.
651		а). В эллипс вписан равнобедренный треугольник так, что его вершина совпадает с одной из вершин эллипса. Доказать, что основание этого треугольника параллельно одной из осей эллипса; б). Доказать, что стороны прямоугольника вписанного в эллипс,параллельны осям этого эллипса; в). На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его главные диаметры.
652		Доказать, что хорды эллипса, соединяющие его произвольную произвольную точку с концами любого диаметра этого эллипса, праллельны паре его сопряженных диаметров.
653		а). Доказать, что сумма квадратов двух сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная (равная сумме квадратов его полуосей), б). Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на двух сопряженных полудиаметрах эллипса, есть величина постоянная (равная площади прямоугольника, построенного на его полуосях).
654		Составить уравнение диаметра гиперболы , походящего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой .
655		Дана гипербола . Составить уравнение ее хорды, которая проходит через точку А(3; -1) и делится точкой А пополам.
656		Составить уравнениядвух сопряженных диаметров гиперболы , из которых один проходит через точку А(8; 1).
657		Составить уравнения сопряженных диаметров гиперболы , угол между которыми равен 45⁰.
658		На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее центр.
659		Доказать, что оси гиперболы являются единственной парой ее главных диаметров.
660		На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее главные диаметры.
661		Составить уравнение диаметра параболы , проходящего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой .
662		Дана парабола . Составить уравнение ее хорды, которая проходит через точку А(2; 5) и делится точкой А пополам.
663		Доказать, что ось параболы является единственной ее главным диаметром.
664		На чертеже изображена парабола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее главный диаметр.