Глава 23. Центр линии второго порядка

Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:

(1)

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S(, ) является центром линии, определяемой уравнением (1), в том и только в том случае, когда ее кординаты удовлетворяют уравнениям:

, (2)

Обозначим через определитель этой системы:

.

Величина составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

Если , то система (2) является совместной и определенной, то есть имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам

, .

Неравенство служит признаком центральной линии второго порядка.

Если S(, ) - центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам

,

(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее уравнение примет вид

где A, B, C те же, что в данном уравнении (1), а определяется формулой

.

В случае имеет место также следующая формула:

,

где

.

Определитель называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.

665 Установить, какие из следующих линий являются центральными (т.е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:
665.1  ;
665.2 ;
665.3 ;
665.4 ;
665.5 ;
665.6 ;
665.7 ;
665.8  .
666 Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из них найти координаты центра:
666.1 ;
666.2 ;
666.3 ;
666.4 .
667 Установить, что каждая из следующих линий имеет бесконечно много центров; для каждой из них составить уравнение геометрического места центров:
667.1 ;
667.2 ;
667.3  .
668 Установить, что следующие уравнения определяют центральные линии; преобразовать каждое из них путем переноса начала координат в центр:
668.1 ;
668.2  ;
668.3  ;
668.4 .
669 При каких значениях m и n уравнение определяют:
669.1 центральную линию;
669.2 линию без центра;
669.3 линию, имеющую бесконечного много центров.
670 Дано уравнение линии . Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :
670.1 пересекает эту линию в одной точке;
670.2 касается этой линии;
670.3 пересекает эту линию в двух точках;
670.4 не имеет общих точек с этой линией.
671 Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку M(6; -2) и касается прямая в точке N(2; 0).
672 Точка Р(1; -2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Q(0; -3) и касается линии Ох в начале координат. Составить уравнение этой линии.

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/