Глава 23. Центр линии второго порядка
Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:
(1)
Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.
Точка S(, ) является центром линии, определяемой уравнением (1), в том и только в том случае, когда ее кординаты удовлетворяют уравнениям:
, (2)
Обозначим через определитель этой системы:
.
Величина составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.
Если , то система (2) является совместной и определенной, то есть имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам
, .
Неравенство служит признаком центральной линии второго порядка.
Если S(, ) - центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам
,
(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее уравнение примет вид
где A, B, C те же, что в данном уравнении (1), а определяется формулой
.
В случае имеет место также следующая формула:
,
где
.
Определитель называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.
665 Установить, какие из следующих линий являются центральными (т.е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров: 665.1 ; 665.2 ; 665.3 ; 665.4 ; 665.5 ; 665.6 ; 665.7 ; 665.8 . 666 Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из них найти координаты центра: 666.1 ; 666.2 ; 666.3 ; 666.4 . 667 Установить, что каждая из следующих линий имеет бесконечно много центров; для каждой из них составить уравнение геометрического места центров: 667.1 ; 667.2 ; 667.3 . 668 Установить, что следующие уравнения определяют центральные линии; преобразовать каждое из них путем переноса начала координат в центр: 668.1 ; 668.2 ; 668.3 ; 668.4 . 669 При каких значениях m и n уравнение определяют: 669.1 центральную линию; 669.2 линию без центра; 669.3 линию, имеющую бесконечного много центров. 670 Дано уравнение линии . Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая : 670.1 пересекает эту линию в одной точке; 670.2 касается этой линии; 670.3 пересекает эту линию в двух точках; 670.4 не имеет общих точек с этой линией. 671 Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку M(6; -2) и касается прямая в точке N(2; 0). 672 Точка Р(1; -2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Q(0; -3) и касается линии Ох в начале координат. Составить уравнение этой линии.
Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/