Глава 34. Двойное векторное произведение

Пусть вектор умножается векторно на вектор , после чего полученный вектор умножается снова векторно на вектор . В результате получается так называемое двойное векторное произведение (ясно, что - вектор). Умножая вектор векторно на , получим двойное векторное произведение .

Вообще говоря,

.

Докажем, что имеет место тождество

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем (декартову прямоугольную) систему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а именно: ось Ох направим по вектору , ось Оу поместим в плоскости векторов и (считая, что векторы и приведены к общему началу). В таком случае будем иметь

, . .

Теперь находим

, .

С другой стороны

,

,

,

.

Следовательно,

.

Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем

,

что и требовалось доказать.

879		Доказать тождество .
880		Решить задачу 864, используя результаты задачи 879.
881		Даны вершины треугольника A(2; -1; -3), B(1; 2; -4), C(3; -1; -2). Вычислить координаты вектора h, коллинеарного с его высотой, опущенной из вершины А на противоположную сторону, при условии, что вектор образует с осью Оу тупой угол и что его модуль равен .
882		Считая, что каждый из векторов , , отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство .
883		Доказать тождества:
	883.1	;
	883.2	;
	883.3	;
	883.4	;
	883.5	;
	883.6	при условии, что векторы и взаимно перпендикулярны;
	883.7	;
	883.8	;
	883.9	;
	883.10	;
	883.11	;
	883.12	.
884		Три некомпланарных вектора , и приведены к общему началу. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору .