Глава 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение
(1)
определяет плоскость, проходящую через точку
и имеющей нормальный вектор
.
Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число
буквой D, представим его в виде
.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
913 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор n={1; -2; 3}. 914 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n={5; 0; -3}. 915 Точка Р(2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости. 916 Даны точки M1(3; -1; 2), M2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору .
917 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; 4; -5) параллельно векторам a1={3; 1; -1) и a2={1; -2; 1}. 918 Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) параллельно векторам a1={l1, m1, n1} и a2={l2; m2; n2}, может быть представлено в следующем виде:
.
919 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; -1; 3), M2(3; 1; 2) параллельно вектору a={3; -1; 4}. 920 Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) параллельно вектору a={l; m; n}, может быть представлено в следующем виде:
.
921 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1), М3(2; 0; 2). 922 Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3; y3; z3), может быть представлено в следующем виде:
.
923 Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора: 923.1 ;
923.2 ;
923.3 ;
923.4 ;
923.5 ;
923.6 .
924 Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости: 924.1 ,
;
924.2 ,
;
924.3 ,
.
925 Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости: 925.1 ,
;
925.2 ,
;
925.3 ,
.
926 Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости: 926.1 ,
;
926.2 ,
;
926.3 ,
.
927 Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости: 927.1 ,
;
927.2 ,
;
927.3 ,
.
928 Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей: 928.1 ,
;
928.2 ,
;
928.3 ,
;
928.4 ,
.
929 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости .
930 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(3; -2; -7) параллельно плоскости .
931 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям ,
.
932 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; -1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям ,
.
933 Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) перпендикулярно к плоскостям
,
, может быть представлено в следующем виде:
.
934 Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М1(1; -1; -2), M2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости .
935 Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) перпендикулярно к плоскости
, может быть представлено в следующем виде:
.
936 Установить, что три плоскости ,
,
имеют общую точку, и вычислить ее координаты.
937 Доказать, что три плоскости ,
,
проходят через одну прямую.
938 Доказать, что три плоскости ,
,
пересекаются по трем различным параллельным прямым.
939 Определить, при каких значениях a и b плоскости ,
,
:
939.1 имеют одну общую точку; 939.2 проходят через одну прямую; 939.3 пересекаются по трем различным параллельным прямым.
Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/