Глава 41. Уравнения прямой

Глава 41. Уравнения прямой

Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совместно заданием двух уравнений первой степени

, (1)

при условии, что коэффициенты , , первого из них не пропорциональны коэффициентам , , второго (в противном случае эти уравнения будут определять параллельные или слившиеся плоскости).

Пусть некоторая прямая a определена уравнениями (1), и - какие угодно числа, одновременно не равные нулю; тогда уравнение

(2)

определяет плоскость, проходящую через прямую а.

Уравнением вида (2) (при соответствующем выборе чисел , ) можно определить любую плоскость, проходящую через прямую а.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида (2) называется уравнением пучка плоскостей.

Если , то полагая , уравнение (2) можно привести к виду

. (3)

В таком виде уравнение пучка плоскостей более употребительно, чем уравнение (2), однако уравнением (3) можно определить все плоскости пучка, за исключением той, которая соответствует , то есть за исключением плоскости .

982 Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости с координатными плоскостями.

983 Составить уравнения прямой, образованных пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось Ох и точку Е(3; 2; -5).

984 Найти точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

985 Доказать, что прямая пересекает ось Оу.

986 Определить, при каком значении D прямая пересекает:

986.1 ось Ох;

986.2 ось Оу;

986.3 ось Oz.

987 Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой для того, чтобы эта прямая была параллельна:

987.1 оси Ох;

987.2 оси Оу;

987.3 оси Oz.

988 Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой для того, чтобы эта прямая:

988.1 пересекала ось абсцисс;

988.2 пересекала ось ординат;

988.3 пересекала ось апликат;

988.4 совпадала с осью абсцисс;

988.5 совпадала с осью ординат;

988.6 совпадала с осью апликат.

989 В пучке плоскостей найти плоскость, которая:

989.1 проходит через точку М₁(1; -2; 3);

989.2 параллельна оси Ох;

989.3 параллельна оси Оу;

989.4 параллельна оси Oz.

990 Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей , :

990.1 и через точку М₁(4; -2; -3);

990.2 параллельно оси Ох;

990.3 параллельно оси Оу;

990.4 параллельно оси Oz.

991 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей , параллельно вектору l={2; -1; -2}.

992 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей , параллельно вектору l={7; 9; 17}.

993 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей , перпендикулярно плоскости .

994 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .

995 Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей , параллельно отрезку, ограниченному точками М₁(2; 5; -3), М₂(3; -2; 2).

996 Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку плоскостей и равноудаленной от точек М₁(3; -4; -6) и М₂(1; 2; 2).

997 Определить, принадлежит ли плоскость пучку плоскостей .

998 Определить, принадлежит ли плоскость пучку плоскостей .

999 Определить, при каких значениях l и m плоскость принадлежит пучку плоскостей .

1000 Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей и отстоит от начала координат на расстояние d=3.

1001 Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей и отстоит от точки С(3; -2; -3) на расстояние d=7.

1002 Найти уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей и отсекает от координатного угла Оху треугольник с площадью, равной 6.

1003 Составить уравнения плоскостей, проектирующих прямую на координатные плоскости.

1004 Составить уравнения проекций прямой на координатные плоскости.

1005 Составить уравнение плоскости, проектирующей прямую на плоскость .

1006 Составить уравнения проекции прямой на плоскость .

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

982		Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости с координатными плоскостями.
983		Составить уравнения прямой, образованных пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось Ох и точку Е(3; 2; -5).
984		Найти точки пересечения прямой с координатными плоскостями.
985		Доказать, что прямая пересекает ось Оу.
986		Определить, при каком значении D прямая пересекает:
	986.1	ось Ох;
	986.2	ось Оу;
	986.3	ось Oz.
987		Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой для того, чтобы эта прямая была параллельна:
	987.1	оси Ох;
	987.2	оси Оу;
	987.3	оси Oz.
988		Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой для того, чтобы эта прямая:
	988.1	пересекала ось абсцисс;
	988.2	пересекала ось ординат;
	988.3	пересекала ось апликат;
	988.4	совпадала с осью абсцисс;
	988.5	совпадала с осью ординат;
	988.6	совпадала с осью апликат.
989		В пучке плоскостей найти плоскость, которая:
	989.1	проходит через точку М₁(1; -2; 3);
	989.2	параллельна оси Ох;
	989.3	параллельна оси Оу;
	989.4	параллельна оси Oz.
990		Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей , :
	990.1	и через точку М₁(4; -2; -3);
	990.2	параллельно оси Ох;
	990.3	параллельно оси Оу;
	990.4	параллельно оси Oz.
991		Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей , параллельно вектору l={2; -1; -2}.
992		Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей , параллельно вектору l={7; 9; 17}.
993		Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей , перпендикулярно плоскости .
994		Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .
995		Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей , параллельно отрезку, ограниченному точками М₁(2; 5; -3), М₂(3; -2; 2).
996		Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку плоскостей и равноудаленной от точек М₁(3; -4; -6) и М₂(1; 2; 2).
997		Определить, принадлежит ли плоскость пучку плоскостей .
998		Определить, принадлежит ли плоскость пучку плоскостей .
999		Определить, при каких значениях l и m плоскость принадлежит пучку плоскостей .
1000		Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей и отстоит от начала координат на расстояние d=3.
1001		Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей и отстоит от точки С(3; -2; -3) на расстояние d=7.
1002		Найти уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей и отсекает от координатного угла Оху треугольник с площадью, равной 6.
1003		Составить уравнения плоскостей, проектирующих прямую на координатные плоскости.
1004		Составить уравнения проекций прямой на координатные плоскости.
1005		Составить уравнение плоскости, проектирующей прямую на плоскость .
1006		Составить уравнения проекции прямой на плоскость .