Глава 42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой , его координаты - буквами l, m, n:

.

Если известна одна точка прямой и направляющий вектор , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида

. (1)

В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки и имеют вид

. (2)

Обознчим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим

.

Отсюда

, , . (3)

Это - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку в направлении вектора . В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, x, y, z - как функции от t; при изменении t величины x, y, z меняются так, что точка M(x; y; z) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М. При t=0 точка М совпадает с точкой . Скорость v точки М постоянная и определяется формулой

.

1007		Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1(2; 0; -3) параллельно:
	1007.1	вектору a={2; -3; 5};
	1007.2	прямой ;
	1007.3	оси Ох;
	1007.4	оси Оу;
	1007.5	оси Oz.
1008		Составить канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки:
	1008.1	(1; -2; 1), (3; 1; -1);
	1008.2	(3; -1; 0), (1; 0; -3);
	1008.3	(0; -2; 3), (3; -2; 1);
	1008.4	(1; 2; -4), (-1; 2; -4).
1009		Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1; -1; -3) параллельно:
	1009.1	вектору a={2; -3; 4};
	1009.2	прямой ;
	1009.3	прямой , , .
1010		Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через данные точки:
	1010.1	(3; -1; 2), (2; 1; 1);
	1010.2	(1; 1; -2), (3; -1; 0);
	1010.3	(0; 0; 1), (0; 1; -2).
1011		Через точки М1(-6; 6; -5), М2(12; -6; 1) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.
1012		Даны вершины треугольника А(3; 6; -7), В(-5; 2; 3), С(4; -7; -2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С.
1013		Даны вершины треугольника А(3; -1; -1), В(1; 2; -7), С(-5; 14; -3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине С.
1014		Даны вершины треугольника А(2; -1; -3), В(5; 2; -7), С(-7; 11; 6). Составить канонические уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине А.
1015		Дан вершины треугольника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3), С(5; 1; -7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенного из вершины В на противоположную сторону.
1016		Дана прямая , . Вычислить проекции какого-нибудь ее направляющего вектора а на координатные оси. Найти общее выражение проекций произвольного направляющего вектора этой прямой на координатные оси.
1017		Дана прямая , . Найти разложение какого-нибудь ее направляющего вектора а по базису i, j, k. Выразить в общем виде разложение произвольного направляющего вектора этой прямой по базису i, j, k.
1018		Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1(2; 3; -5) параллельно прямой , .
1019		Составить канонические уравнения следующих прямых:
	1019.1	, ;
	1019.2	, ;
	1019.3	, .
1020		Составить параметрические уравнения следующих прямых:
	1020.1	, ;
	1020.2	, .
1021		Доказать параллельность прямых:
	1021.1	и , ;
	1021.2	, , и , ;
	1021.3	, и , .
1022		Доказать перпендикулярность прямых:
	1022.1	и , ;
	1022.2	, , и , ;
	1022.3	, и , .
1023		Найти острый угол между прямыми , .
1024		Найти тупой угол между прямыми , , и , , .
1025		Определить косинус угла между прямыми , и , .
1026		Доказать, что прямые, заданные параметрическими уравнениями , , и , , , пересекаются.
1027		Даны прямые , ; при каком значении l они пересекаются?
1028		Доказать, что условие, при котором две прямые и лежат в одной плоскости, может быть представлено в следующем виде: .
1029		Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М1(-1; 2; -3) перпендикулярно к вектору a={6; -2; -3} и пересекает прямую .
1030		Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М(-4; -5; 3) и пересекает две прямые , .
1031		Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями , , и, ,.
1032		Даны уравнения движения точки М(x; y; z): , , . Определить скорость v.
1033		Даны уравнения движения точки М(x; y; z): , , . Определить расстояние d, которое пройдет эта точка за промежуток времени от t1=0 до t2=7.
1034		Составить уравнения движения точки М(x; y; z), которая, имея начальное положение М0(3; -1; -5), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора s={-2; 6; 3} со скоростью v=21.
1035		Составить уравнения движения точки М(x; y; z), которая, двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла расстояние от точки М1(-7; 12; 5) до точки М2(9; -4; -3) за промежуток времени от t1=0 до t2=4.
1036		Точка М(x; y; z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М0(20; -18; -32) в направлении, противоположном вектору s={3; -4; -12}, со скоростью v=26. Составить уравнения движения точки М и определить точку, с которой она совпадает в момент времени t=3.
1037		Точки М(x; y; z) и N(x, y, z) движутся прямолинейно и равномерно: первая из начального положения М0(-5; 4; -5) со скоростью vM=14 в направлении вектора s={3; -6; 2}, вторая из начального положения N0(-5; 16; -6) со скоростью vN=13 в направлении, противоположном вектору r={-4; 12; -3}. Составить уравнения движения каждой из точек и, убедившись, что их траектории пересекаются, найти:
	1037.1	точку Р пересечения их траекторий;
	1037.2	время, затраченное на движение точки М от М0 до Р;
	1037.3	время, затраченное на движение точки N от N0 до Р;
	1037.4	длины отрезков M0P и N0P.