Глава 46. Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

(1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c - сжатым. В случае, когда a=b=c, эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (2)

. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), - двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (4)

, (5)

где p и q - положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), - гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой . Зададим, кроме того, некоторое положительное число q. Пусть М - произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости , - основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки М. Переместим точку М по прямой в новое положение так, чтобы имело место равенство

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости , где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости ; точки, которые расположены на плоскости , оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости , переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости ; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверхность F; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F’. Будем говорить, что поверхность F’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).

ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

может быть получен из сферы

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Oxy с коэффициентом сжатия и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Oxy с коэффициентом и пусть - точка, в которую переходит при этом точка . Выразим координаты x’, y’, z’ точки М’ через координаты x, y, z точки М. Так как прямая MM’ перпендикулярна к плоскости Oxy, то x’=x, y’=y. С другой стороны, так как расстояние от точки М’ до плоскости Oxy равно расстоянию от точки М до этой плоскости, умноженному на число , то .

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

, , (6)

или

, , (7)

Предположим, что M(x; y; z) - произвольная точка сферы

.

Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим

,

откуда

.

Следовательно, точка M’(x’; y’; z’) лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам

, , ;

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

Однополостный гиперболоид

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

, ;

, ,

где и - некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями

, ;

, .

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L. Точка S называется вершиной конуса; линия L - направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

1153		Установить, что плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу; найти его полуоси и вершины.
1154		Установить, что плоскость пересекает однополостный гиперболоид по гиперболе; найти ее полуоси и вершины.
1155		Установить, что плоскость пересекает гиперболический параболоид по параболе; найти ее параметр и вершину.
1156		Найти уравнения проекций сечения эллиптического параболоида плоскостью на координатные плоскости.
1157		Установить, какая линия является сечением эллипсоида плоскостью , и найти ее центр.
1158		Установить, какая линия является сечением гиперболического параболоида плоскостью , и найти ее центр.
1159		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Найти центр каждой из них.
	1159.1	, ;
	1159.2	, ;
	1159.3	, .
1160		Установить, при каких значения m и n плоскость пересекает двуполостный гиперболоид : а). По эллипсу; б). По гиперболе.
1161		Установить, при каких значениях m плоскость пересекает эллиптический параболоид : а). По эллипсу; б). По параболе.
1162		Доказать, что эллиптический параболоид имеет одну общую точку с плоскостью и найти ее координаты.
1163		Доказать, что однополостный гиперболоид имеет одну общую точку с плоскостью , и найти ее координаты.
1164		Доказать, что эллипсоид имеет одну общую точку с плоскостью , и найти ее координаты.
1165		Определить, при каком значении m плоскость касается эллипсоида .
1166		Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору n={2; -1; -2} и касающейся эллиптического параболоида .
1167		Провести касательные плоскости к эллипсоиду параллельно плоскости ; вычислить расстояние между найденными плоскостями.
1168		Коэффициент равномерного сжатия пространства к плоскости Oyz равен 3/5. Составить уравнение поверхности, в которую при таком сжатии преобразуется сфера .
1169		Составить уравнение поверхности, в которую преобразуется эллипсоид при трех последовательных равномерных сжатиях пространства с координатными плоскостями, если коэффициент сжатия к плоскости Oxy равен 3/4, к плоскости Oxz равен 4/5 и к плоскости Oyz равен 3/4.
1170		Определить коэффициенты q1 и q2 двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям Oxy, Oxz, которые преобразуют сферу в эллипсоид .
1171		Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса , x=0 вокруг оси Oy.
1172		Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса , z=0 вокруг оси Ох.
1173		Составить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы , y=0 вокруг оси Oz.
1174		Доказать, что трехосный эллипсоид, определяемый уравнением , может быть получен в результате вращения эллипса , z=0 вокруг оси Ох и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Оху.
1175		Доказать, что однополостный гиперболоид, определяемый уравнением , может быть получен в результате вращения гиперболы , y=0 вокруг оси Оz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Оху.
1176		Доказать, что двуполостный гиперболоид, определяемый уравнением , может быть получен в результате вращения гиперболы , у=0 вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz.
1177		Доказать, что эллиптический параболоид, определяемый уравнением , может быть получен в результате вращения параболы , y=0 вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz.
1178		Составить уравнение поверхности, образованной движением параболы, при условии, что эта парабола все время остается в плоскости, перпендикулярной к оси Оу, причем ось параболы не меняет своего направления, а вершина скользит по другой параболе, заданной уравнениями , х=0. Подвижная парабола в одном из своих положений дана уравнениями , у=0.
1179		Доказать, что уравнение определяет гиперболический параболоид.
1180		Найти точки пересечения поверхности и прямой:
	1180.1	и ;
	1180.2	и ;
	1180.3	и ;
	1180.4	и .
1181		Доказать, что плоскость пересекает гиперболический параболоид по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямолинейных образующих.
1182		Доказать, что плоскость пересекает однополостный гиперболоид по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямолинейных образующих.
1183		Убедившись, что точка М(1; 3; -1) лежит на гиперболическом параболоиде , составить уравнения его прямолинейных образующих, проходящих через М.
1184		Составить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиерболоида , параллельных плоскости .
1185		Убедившись, что точка А(-2; 0; 1) лежит на гиперболическом параболоиде , определить острый угол, образованный его прямолинейными образующими, проходящими через А.
1186		Составить уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющая дана уравнениями:
	1186.1	, z=0;
	1186.2	, y=b;
	1186.3	, x=a.
1187		Доказать, что уравнение определяет конус с вершиной в начале координат.
1188		Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющая которого дана уравнениями , .
1189		Составить уравнение конуса с вершиной в точке (0; 0; с), направляющая которого дана уравнениями , z=0.
1190		Составить уравнение конуса, вершина которого находится в точке (3; -1; -2), а направляющая дана уравненияи , .
1191		Ось Oz является осью круглого конуса с вершиной в начале координат, точка М1(3; -4; 7) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса.
1192		Ось Оу является осью круглого конуса с вершиной в начале координат; его образующие наклонены под углом 600 к оси Оу. Составить уравнение этого конуса.
1193		Прямая является осью круглого конуса, вершина которого лежит на плоскости Oyz. Составить уравнение этого конуса, зная, что точка М1(1; 1; -5/2) лежит на его поверхности.
1194		Составить уравнение круглого конуса, для которого оси координат являются образующими.
1195		Составить уравнение конуса с вершиной в точке S(5; 0; 0), образующие которого касаются сферы .
1196		Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, образующие которого касаются эллипсоида .
1197		Составить уравнение конуса с вершиной в точке S(3; 0; -1), образующие которого касаются эллипсоида .
1198		Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору l={2; -3; 4}, а направляющая дана уравнениями , z=1.
1199		Составить уравнение цилиндра, направляющая которого дана уравнениями , , а образующие перпендикулярны к плоскости направляющей.
1200		Цилиндр, образующие которого перпендикулярны к плоскости , описан около сферы . Составить уравнение этого цилиндра.
1201		Цилиндр, образующие которого параллельны прямой , , , описан около сферы . Составить уравнение этого цилиндра.
1202		Составить уравнение круглого цилиндра, проходящего через точку S(2; -1; 1), если его осью служит прямая , , .
1203		Составить уравнение цилиндра, описанного около двух сфер: , .